Фракталы — это математические объекты дробной размерности. Самые иозвестные фракталы — множество Мандельброта и родственные ему множества Жюлиа.

Множество Мандельброта носит имя Бенуа Мандельброта, ученого, работающего (или работавшего — не знаю) в Исследовательском центре Томаса Уотсона фирмы IBM в Йорктаун-Хайтсе (шт. Нью-Йорк).

Множество Мандельброта — обитатель комплексной плоскости, то есть обычной плоскости, каждая точка которой характеризуется двумя координатными значениями. Точнее говоря, каждая точка комплексной плоскости представляется числом вида a+bi. Числа a и b можно считать координатами точки: а — вещественная часть комплексного числа, а b — его мнимая часть.

Представим формулу, которая открывает нам множество Мандельброта, порождает также множества Жюлиа и в некотором смысле превращает порядок в хаос:

z := z*z + c

Здесь c и z - это комплексные числа, каждое из них имеет мнимую и вещественную части. Число z возводится в квадрат и c прибавляется к результату согласно правилам умножения и сложения комплексных чисел. Формула как бы оживает, если начать последовательно вычислять значения сумм, подставляя в формулу каждый раз значение z, полученное на предыдущем шаге. Получающаяся в результате этого итерационного процесса последовательность комплексных чисел образует причудливый узор на комплексной плоскости. На каждом шаге новое комплексное число лежит на некотором расстоянии от предшествующего.

Интересно представить полученную последовательность комплексных чисел как блуждания исходной точки. Стремится ли она к бесконечности, все дальше удаляясь от начала координат комплексной плоскости? Некоторые комплексные числа действительно стремятся в бесконечность, другие навсегда ограничены в своем движении определенной областью, имеющей сложную форму. Их тюрьма, или область, где они содержатся, имеет фрактальные стены. Итерационный процесс длится до бесконечности.

Однако, каким образом выбираются константа с и исходное значение z? Можно, например, сделать число z равным нулю и выбирать различные значения c. Вырвется ли узник в данном случае на свободу? Будем повторять эксперимент снова и снова, систематически варьируя значения c в определенной области комплексной плоскости. Стены области, из которой не удается бежать, принимают форму множества Мандельброта. Придаем беглецам окраску в зависимости от скорости побега, и тогда изображение становится очень красивым.

Согласно только что описанному правилу, исходное значение числа z равно 0, или точнее 0+0i. А что изменится, если процесс начать с какого-нибудь другого значения z, скажем, z=3,5+6i? Примет ли результирующее множество другую форму? Действительно, в результате мы всегда получаем деформированную версию множества Мандельброта. Обычно предпочтение отдается его канонической форме.

Если следовать противоположному правилу, когда значение c фиксировано, а z играет роль исходной точки, получающееся в результате итерационного процесса множество уже отличается по виду от множества Мандельброта. Оно, или вернее его граница, называется множеством Жюлиа. Множество Жюлиа не единственно, на самом деле имеется целое множество таких множеств: для каждого фиксированного значения c в формуле итераций мы получаем свое, отличное от других, множество Жюлиа, заполненное "узниками". Оба эти множества можно исследовать с помощью моей программы.
Множество Мандельброта
Множество Мандельброта
MandelSetup3.74.exe
Version: 3.74
1.6 MiB
308 Downloads
Детали


Автор текста - А.К.Дьюдни

Страница просмотрена 2093 раз(а)